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小学常见图形面积公式:三角形公式3

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小学常见图形面积公式:三角形公式

  海伦公式任意三角形的面积公式(海伦公式):S^2=p(p-a)(p-b)(p-c),p=(a+b+c)/2,a.b.c为三角形三边。

  证明:证一勾股定理分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。证明:如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:x=y=ha===∴S△ABC=aha=a×=此时S△ABC为变形④,故得证。

  证二:斯氏定理分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,若BD=u,DC=v,AD=t.则t2=证明:由证一可知,u=v=∴ha2=t2=-∴S△ABC=aha=a×=此时为S△ABC的变形⑤,故得证。

  证三:余弦定理分析:由变形②S=可知,运用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC对其进行证明。证明:要证明S=则要证S===ab×sinC此时S=ab×sinC为三角形计算公式,故得证。

  证四:恒等式分析:考虑运用S△ABC=rp,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式:若∠A+∠B+∠C=180○那么tg·tg+tg·tg+tg·tg=1证明:如图,tg=①tg=②tg=③根据恒等式,得:++=①②③代入,得:∴r2(x+y+z)=xyz④如图可知:a+b-c=(x+z)+(x+y)-(z+y)=2x∴x=同理:y=z=代入④,得:r2·=两边同乘以,得:r2·=两边开方,得:r·=左边r·=r·p=S△ABC右边为海伦公式变形①,故得证。

  证五:半角定理半角定理:tg=tg=tg=证明:根据tg==∴r=×y①同理r=×z②r=×x③①×②×③,得:r3=×xyz[3]

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